 |
The Fourier Transform |
|
|
| |
Fourier Transform 은 어떤 주기적인 시간 함수( x(t) )도 주파수 0 부터 시작하여 base
frequency (fo = 1/T)의 정수배에 해당하는 주파수로 이루어진 sin 과 cos 함수의 무한합과 같다는 개념에서
부터 출발한다. (where T is the period of x(t) )
주기적인 시간함수의 fourier series 는 다음과 같은 형태로 나타난다.
|
|
| |
 |
|
| |
이 식을 수학적 계산을 통하여 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.(응용수학이나 수치해석 책을 참고 할것)
|
|
| |
 |
|
| |
위와 같은 fourier series는 주기적인
시간함수의 주파수 정보는 얻을수 있지만, 모든 신호가 주기적이지만은 않다는 것이다. 따라서 주기적이지 않은 신호에서 주파수
정보를 얻기위해 사람들은 fourier series 를 응용하기 시작했다.
그래서 나온 것이 Fourier integral 이다. 주기적인 함수를 비주기적인 함수로 변환하는 방법으로 주기를
무한대(infinite)로 보낸다는 것이다. 즉 T 가 무한대가 되면 그 함수는 반복적인 형태가 나올수가 없다는 것이다.
따라서 비주기적인 함수가 되는것이다. 이를 이용하면 fourier series는 다음과 같이 표현 된다.
|
|
| |
 |
|
| |
이는 각각 Fourier Transform pair 라고 하고, 위 식은
Inverse Fourier Transform 이고 아래식은
Fourier Transform or Fourier Intergral 이라고 한다.
따라서 Fourier series 와 Fourier Transform과의 차이점을 정리하면 적용하는 함수 형태가
다르다는 것이다.
Fourier series 는 주기적인 함수에 Fourier
Transform 은 비 주기적인 함수에 적용하는 것이다.
그래서 Fourier series 는 연속(continuous) , 주기적인 시간함수 (periodic time-domain
function)을 discrete frequency 에의 주파수 함수로 변환하고 Fourier Transform 은 연속적인
시간함수를 연속 주파수 함수로 변환한다.
다음 그림은 이 둘의 성격을 잘 나타내준다.
|
|
| |
 |
|
|
|
DFT (Discrete Fourier Transform)
|
|
|
|
연속함수에서는 Fourier transform을 하면
되지만 discrete 에서는 DFT를 행한다. waveform 이 interval T 로 sampled 되었다고
하면 , sample sequence 는 x(nT) = x(0) , x(1), x(2) , x(3) , x(4) , x(5) . .
. . x[(N-1)T] 라 할수 있다. (n = 0 . . . . . N-1 )
그래서 x(nT)의 DFT 는 frequency domain에서 X(k) = X(0) ,X(). . . X[(N-1)] 같은
복소수 값의 sequence를 갖는다.
DFT는 다음식과 같다.
( k = harmonic number of transform component )
|
|
|
 ( k =
harmonic number of transform component )
|
|
|
그리고 중요한 DFT의 성질이 있는데 k번째의 요소와 k+N 번째 요소를 비교하면 |
|
|
 |
|
|
따라서 위 식은 DFT 는 주기 N에 대하여 periodic 하게 나타난다는 것이다. |
|
|
|
|
|
|
|
|
NEXT
|
|
|
| |
|
|
